Matrices

¿Necesitas una calculadora de matrices? Tenemos una amplia selección de ellas para que puedas resolver distintas operaciones como calcular la matriz traspuesta, la inversa o la multiplicación de matrices.

Operaciones con matrices

Elige a continuación la calculadora de matrices que necesites:

• Calculadora de matriz Traspuesta
• Calcular matriz inversa 2×2
• Calcular matriz inversa 3×3
• Calculadora de matriz inversa 4×4
• Multiplicación de matrices 2×2
• Multiplicar matrices 3×3

¿Necesitas alguna calculadora de matrices más? Pídenosla y la haremos. También te recordamos que si quieres calcular un determinante, en el enlace que te acabamos de dejar podrás resolverlos online.

Además, en cada una de las calculadoras de matrices que te hemos dejado para resolver operaciones, encontrarás cómo se hace con la fórmula y ejemplos resueltos para que entiendas cómo se hace en cada caso. Por supuesto, si tienes dudas nos puedes preguntar y te ayudaremos encantados.

Tipos de matrices

Existen muchos tipos de matrices, por eso, a continuación os resumiremos cuáles son los más importantes.

Matriz fila

La matriz fila es aquella que está formada por una única fila tal y como indica su nombre. Un ejemplo de matriz fila puede ser el siguiente:

Matriz columna

En el caso de la matriz columna, tal y como su nombre indica, tenemos una única columna. Un ejemplo de este tipo de matrices es:

Matriz rectangular

Decimos que una matriz es rectangular cuando el número de filas y de columnas es distinto, es decir, su dimensión es mxn. Por ejemplo, a continuación puedes ver una matriz rectangular de 3×2:

Matriz cuadrada

Si el numero de filas y columnas es el mismo, entonces se trata de una matriz cuadrada. Es decir, su dimensión es de nxn como en el siguiente ejemplo:

Dentro de las matrices cuadradas hay varios tipos como la triangular superior, inferior, diagonal, escalar, identidad, ortogonal y más. Aquí puedes ver todos los tipos de matrices cuadradas que hay.

Matriz traspuesta

La matriz traspuesta (A_t) de una matriz A es aquella en la que hemos intercambiado las filas por columnas. Para que se entienda mejor, a continuación puedes ver la fórmula de la matriz traspuesta.

Si quieres saber más sobre cómo se calcula, sus propiedades o ver ejemplos prácticos, no dudes en visitar nuestra calculadora de matriz traspuesta.

Matriz nula

La matriz nula se caracteriza porque todos sus elementos son 0.

Por su característica, la matriz nula tiene las siguientes propiedades:

• Es simétrica y antisimétrica
• Es singular
• Es nilpotentes

Tipos de matrices cuadradas

Como hay una gran variedad de matrices cuadradas, hemos querido dedicarle un punto especial para hablar un poco de cada una de ellas y que aprendas a identificarlas bien.

Como hemos dicho antes, una matriz cuadrada es aquella que tiene el mismo número de filas y columnas. Ahora veremos los tipos que hay:

Matriz triangular superior

La matriz triangular superior es aquella cuyos elementos debajo de la diagonal principal son cero.

Matriz triangular inferior

En la matriz triangular inferior ocurre justo lo contrario al tipo de matriz anterior, es decir, en este caso todos los elementos que están por encima de la diagonal principal son cero.

Matriz diagonal

La matriz diagonal es aquella que sólo tiene elementos en su diagonal principal. En el resto serán cero.

Entre sus propiedades, cabe destacar que la matriz diagonal es cuadrada y simétrica.

Matriz escalar

La matriz escalar es como la matriz diagonal pero se diferencia de ésta última en que todos los elementos de la diagonal principal son iguales.

Matriz identidad o unidad

Si los elementos de la diagonal principal son todos igual a 1, estamos ante la matriz identidad.

La matriz identidad es muy importante ya que hace la función de elemento neutro en la multiplicación de matrices, es decir, que si multiplicamos cualquier matriz por la matriz unidad, la matriz original no cambia.

Matriz regular

Decimos que es una matriz regular cuando podemos calcular su inversa. Si no sabes cómo se hace, a continuación te dejamos con un par de enlaces en el que te enseñamos cómo se calcula la matriz inversa de rango 2×2 o 3×3:

• Calcular matriz inversa 2×2
• Calcular matriz inversa 3×3

Matriz singular

Si por el contrario la matriz no tiene inversa, se trata de una matriz singular. Para que esto se cumpla, su determinante tiene que ser nulo.

Matriz idempotente

Una matriz es idempotente cuando al elevarla al cuadrado, nos quedamos con la matriz original. Esto expresado matemáticamente se representa así:

A² = A

A continuación os dejamos con algunos ejemplos de matrices idempotentes en los que se puede ver demostrada la propiedad anterior:

Matriz involutiva

Diremos que una matriz es involutiva si al multiplicarla por sí misma obtenemos la matriz identidad. Es decir:

A² = I

A continuación tenéis un par de ejercicios resueltos de matrices involutivas en los que se pueden ver cómo la expresión anterior se cumple:

Entre las propiedades de la matriz involutiva tenemos que:

• Son matrices cuadradas
• Son inversas de sí mismas

Matriz simétrica

Una matriz simétrica es aquella que es igual a su matriz traspuesta, es decir:

A = A^t

Matriz antisimétrica

También tenemos un tipo de matriz que se llama antisimétrica y que equivale a su matriz traspuesta pero con un signo menos delante:

A = −A^t

Entre las propiedades de la matriz antisimétrica tenemos:

• Se trata de una matriz cuadrada
• Los elementos de la diagonal principal son igual a cero

Matriz ortogonal

Para terminar con los tipos de matrices vamos a ver la matriz ortogonal. Se llama así porque si la multiplicamos por su traspuesta, obtenemos la matriz identidad:

A · A^t = I

Por ejemplo:

Nuestras calculadoras de matrices

Como habrás podido ver, tenemos varias calculadoras de matrices cuyo funcionamiento es muy sencillo.

Sólo tienes que seleccionar la calculadora de matrices para la operación que quieres realizar y verás que hay una cuadrícula de rango nxm.

En cada una de las celdas tendrás que escribir los elementos de la matriz sobre la que quieras operar, de tal forma que cuando lo hayas hecho sólo tienes que pulsar el botón de calcular para obtener el resultado.

¿Quieres calcular determinantes online o saber cuáles son sus propiedades? A continuación tienes toda la información que buscas para resolver determinantes de una matriz.

Calcular determinantes online

¿Tienes que calcular el determinante de una matriz? Aquí encontrarás una colección de calculadoras online para resolver diferentes tipos de determinantes en función de su tamaño:

• Determinante 2×2
• Determinante 3×3
• Determinante 4×4

En todos los casos te enseñaremos cómo se resuelve el determinante, bien mediante su método matemático o a través de Excel.

Propiedades de los determinantes

Es conveniente conocer las propiedades de los determinantes para resolverlos correctamente y no cometer errores a la hora de resolver ejercicios en los que estén involucrados.

1. El determinante de A es igual al de su transpuesta

Si calcular el determinante de la matriz A y luego haces lo mismo con el determinante de su matriz traspuesta, verás que valen exactamente lo mismo. Por lo tanto, se tiene esta igualdad:

|A^t|= |A|

2. El determinante de una matriz vale 0 si:

|A| puede ser igual a cero si se cumplen algunas de estas condiciones:

• Tiene dos filas o columnas exactamente iguales
• Todos los elementos de una fila o de una de sus columnas son nulos, es decir, igual a cero.
• Los elementos de una fila o columna son una combinación lineal de las otras. Por ejemplo, puede darse el caso de que sumando los elementos de la fila 1 y la fila 2 nos de como resultado los números de la fila 3 por lo que en ese caso el determinante valdrá cero. Un ejemplo claro de este criterio es el que se puede ver en el siguiente ejemplo:

Si te fijas en el determinante anterior, la suma de la fila 1 y la fila 2 da como resultado la fila 3, por lo tanto, son una combinación lineal y su resultado es cero.

3. Un determinante triangular es igual al producto de los elementos de su diagonal principal.

Un determinante triangular es aquel que está lleno de ceros por encima o por debajo de la diagonal principal. Esto hace que podamos calcular cuánto vale con sólo multiplicar los elementos colocados en la diagonal principal.

4. Al cambiar entre sí dos filas o dos columnas, el valor del determinante cambia de signo.

Como puede verse en el siguiente ejemplo, si movemos entre sí dos filas o dos columnas del determinante, su valor final es el mismo pero tenemos que cambiar el signo.

5. Si conviertes una fila o columna en una combinación lineal de las otras, el valor del determinante no cambia.

La única condición para que se cumpla esta propiedad es que hay que multiplicar los elementos de una de la fila o columna del determinante por un número real.

En el siguiente ejemplo se puede ver cómo si convertimos la Columna 3 en una combinación lineal de la columna 1 y 2, tenemos como resultado el mismo valor. Eso si, a la columna uno la hemos multiplicado por dos previamente.

1. Al multiplicar un determinante por un número real, tenemos que multiplicar sólo una de sus filas o columnas.

Es decir, si multiplicamos un determinante por 2, sólo multiplicaremos por ese número a una de sus filas o a una de sus columnas.

7. Si los elementos de una fila o columna están formados por dos sumandos, ese determinante se puede descomponer en dos.

En este caso es importante señalar que el resto de filas o columnas del determinante que sólo tienen un único sumando permanecerán inalteradas en cada uno de los determinantes resultantes.

En este ejemplo se puede ver con mucha más claridad la teoría expuesta en este punto:

8. |A · B| = |A| · |B|

Para terminar las propiedades de los determinantes, si tenemos el determinante de un producto lo podemos igualar al producto de los determinantes.